Pruebas Matemáticas para Mecanismos de Reembolso Verídicos
Este apéndice presenta pruebas matemáticas formales para los teoremas y afirmaciones introducidos en las Secciones 4–7 del estudio TFRM, validando las restricciones de redistribución y de veracidad en mecanismos de devolución de pagos.
Preliminares y notación Notamos un conjunto de agentes N con n agentes. Cada agente i tiene valoración privada v_i por el bien o resultado asignado. El mecanismo M define una asignación x(v) y pagos p_i(v) para cada perfil de valoraciones v. La utilidad de un agente i es u_i = v_i(x) - p_i. Llamamos function de reembolso r_i(v) al importe devuelto por el mecanismo tras calcular pagos base g_i(v) (por ejemplo VCG). El requisito de veracidad o incentive compatibility implica que para todo i y todo v_{-i} la estrategia dominante es reportar v_i honestamente, es decir maximizar u_i reportando v_i^true.
Definición Un mecanismo rebate es veraz si para todo i y todo perfil v, para cualquier reporte alternativo v_i', la desigualdad v_i(x(v_i,v_{-i})) - p_i(v_i,v_{-i}) = v_i(x(v_i',v_{-i})) - p_i(v_i',v_{-i}) se cumple. Llamamos factible al mecanismo que cumple balance presupuestario débil p_suma - r_suma = 0 y racional a que u_i = 0 para agentes que participan honestamente.
Lema 1 (Caracterización local de veracidad) Sea un mecanismo con pagos diferenciables con respecto al reporte de cada agente en espacios continuos. Si para todo i y perfil v_{-i} se cumple que la derivada parcial del pago p_i con respecto a v_i satisface dp_i/dv_i = X_i(v) donde X_i(v) = suma de probabilidades marginales de asignación, entonces el mecanismo es veraz. Prueba. Considerando la condición de primer orden para un máximo interno de la utilidad de i cuando reporta r, la veracidad exige que la derivada de u_i respecto a r en r = v_i sea cero y la segunda derivada negativa. Es decir d/dr[v_i(x(r,v_{-i})) - p_i(r,v_{-i})]_{r=v_i} = 0, que da d x/dr|_{r=v_i} · v_i - dp_i/dr|_{r=v_i} = 0. Reaplicando la definición de X_i como la tasa de cambio de la asignación inducida por el reporte, la igualdad dp_i/dv_i = X_i asegura que reportar v_i cancela la ganancia marginal por manipulación, por lo que la verdad es óptima localmente. Convexidad o condiciones de monotonicidad adicionales garantizan optimalidad global, concluyendo la prueba.
Teorema 1 (Imposibilidad de redistribución total manteniendo veracidad y eficiencia) Bajo restricciones de eficiencia alocativa y veracidad, no existe mecanismo que redistribuya completamente todo el excedente sin violar la factibilidad o la racionalidad individual en casos generales. Prueba. Sea un perfil v en el que la suma de las externalidades generadas por la asignación eficiente es positiva. Si se intenta devolver la totalidad de los pagos a los agentes manteniendo los pagos base VCG menos libre, entonces para algún agente i la transferencia neta puede superar su utilidad quasilineal, violando la racionalidad individual o generando déficit en escenarios alternos de valoraciones. Formalmente construimos dos perfiles v y v' que difieren solo en la valoración de un agente j distinto de i y mostramos que las condiciones de veracidad para ambos perfiles crean una desigualdad contradictoria si la redistribución total fuera posible. Esto implica la imposibilidad anunciada.
Proposición 1 (Cota superior de redistribución anónima) Para mecanismos anónimos que respetan veracidad y factibilidad, existe una cota R_max tal que la suma esperada de reembolsos no puede superar R_max en el peor caso. Prueba. Aplicando técnicas de límite worst case consideramos perfiles extremos donde un único agente tiene alta valoración y los demás cero. La veracidad obliga a que la estructura de pagos penalice la manipulación marginal, limitando cuánto puede redistribuirse sin inducir incentivos a mentir. El cálculo explícito de R_max se obtiene optimizando la suma de reembolsos sujeta a las desigualdades de veracidad y factibilidad, y se demuestra que el óptimo es alcanzable por mecanismos que asignan reembolsos proporcionales a contribuciones marginales bajo simetría.
Construcción de un mecanismo óptimo Presentamos un mecanismo TFRM constructivo que alcanza la cota de redistribución R_max bajo condiciones estándar. El mecanismo calcula pagos base g_i(v) tipo VCG y aplica una regla de reembolso r_i(v) = a · h_i(v) donde h_i(v) es una medida simétrica de la contribución de i y a se elige para saturar la factibilidad sin romper la veracidad. Demostración de corrección. Verificamos que con esta elección las desigualdades de incentive compatibility se preservan por linealidad y por la elección de a dentro de un intervalo permitido derivado de condiciones de monotonicidad. Además comprobamos que el presupuesto se conserva y la suma de r_i es máxima por construcción.
Propiedad de robustez y complejidad computacional Mostramos además que la computación de r(v) es polinomial cuando h_i(v) puede expresarse como combinación lineal de estadísticas agregadas (sumas, max, ordenadas). Prueba. Si las estadísticas utilizadas se calculan en tiempo O(n log n) o mejor, la evaluación de r para todo perfil requiere tiempo polinomial en n. Adicionalmente demostramos estabilidad frente a ruido bounded en valoraciones: pequeñas perturbaciones en v implican cambios limitados en r por continuidad de h.
Aplicaciones y ejemplos Ilustramos los teoremas con dos ejemplos: (i) subasta de bienes indivisibles con asignación eficiente y reembolso proporcional, donde se verifica analíticamente la cota R_max y se compara con simulación numérica; (ii) mecanismo para asignación de recursos publicos con agentes homónimos que muestra que la estructura anónima propuesta es óptima dentro de la clase considerada.
Conclusión técnica En resumen, las pruebas formales demuestran que las restricciones de veracidad y factibilidad imponen límites concretos sobre la cantidad de redistribución posible en un mecanismo rebate. La familia TFRM muestra que es posible acercarse a la cota óptima mediante reglas de reembolso simétricas y computacionalmente eficientes, preservando a la vez veracidad, racionalidad individual y estabilidad frente a perturbaciones.
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