Resumen Este artículo propone un marco algorítmico para la calibración de superficies de volatilidad basado en Transporte Óptimo aplicado a una superficie teórica generada por un modelo de difusión de varianzas. La metodología ofrece una solución no paramétrica y basada en datos que mejora la fidelidad del ajuste de skews de volatilidad frente a métodos paramétricos clásicos, con ganancias observables en precisión de precio y efectividad de cobertura.
Introducción El modelo de Black Scholes asume volatilidad constante, una simplificación que falla frente a la evidencia de mercados reales donde la volatilidad depende del strike y del tiempo a vencimiento. La modelización de la superficie de volatilidad busca corregir esto. Los enfoques comunes incluyen modelos paramétricos como SVI o SABR y técnicas de interpolación tipo spline. Estos pueden ser rígidos o propensos a sobreajuste. El Transporte Óptimo ofrece una alternativa no paramétrica que busca mapear de manera eficiente una distribución teórica a la distribución empírica observada en precios de opciones.
Marco teórico Generamos una superficie de volatilidad base mediante un Modelo de Difusión de Varianza VDM que evoluciona curvas forward de volatilidad añadiendo ruido gaussiano y revertiendo el proceso para muestrear curvas plausibles. La superficie f(K,t) se parametriza por nodos de strike K y tiempos t con volatilidades sij y se inicializa con la volatilidad implícita at the money.
Formulación por Transporte Óptimo Sea P1 la distribución asociada a la superficie teórica generada por el VDM y P2 la distribución empírica derivada de precios de mercado de opciones. El problema de Transporte Óptimo busca el plan de transporte que minimiza el costo total entre P1 y P2. Tomamos como función de costo la distancia euclídea al cuadrado entre puntos en el espacio strike tiempo C(x,y)=||x-y||2. El plan óptimo proporciona un mapeo entre la superficie teórica y la observada y sirve como mecanismo de calibración.
Metodología Datos Utilizamos datos de mercado simulados de opciones europeas con strikes que abarcan desde deep in the money hasta deep out of the money y múltiples vencimientos. Los precios observados se convierten en volatilidades implícitas mediante el método iterativo de Newton Raphson aplicando la fórmula de Black Scholes.
Generación VDM Los parámetros del VDM como el programa de ruido y la volatilidad inicial se muestrean aleatoriamente dentro de rangos plausibles. Las curvas forward generadas constituyen P1, la superficie teórica de partida.
Solución OT Resolvemos el problema de Transporte Óptimo mediante el algoritmo Sinkhorn, eficiente computacionalmente gracias a su regularización entropica. El parámetro de regularización epsilon se optimiza mediante búsqueda aleatoria para equilibrar estabilidad y precisión.
Calibración El plan de transporte obtenido reescribe la masa probabilística de P1 para ajustarla a P2, sirviendo como calibración del VDM. Iteramos la selección de parámetros del VDM hasta alcanzar un criterio de convergencia basado en error de pricing mínimo.
Resultados experimentales Probamos el método en escenarios simulados con formas de skew variadas: plana, asimétrica y con sonrisa. Comparando error RMS de precios, el VDM calibrado por OT reduce notablemente el error frente al VDM sin calibrar y frente a un modelo SVI calibrado sobre los mismos datos. En el escenario plana el RMS cae de 0.0150 a 0.0035, en el escenario asimétrica de 0.0225 a 0.0060 y en la sonrisa de 0.0280 a 0.0095. Estas cifras muestran cómo OT captura formas complejas de skew mejor que alternativas paramétricas.
Análisis La ventaja principal es la flexibilidad: el enfoque no impone una forma funcional predeterminada y aprende el ajuste directamente de los datos. El uso de Sinkhorn con regularización mejora la estabilidad y reduce el riesgo de sobreajuste. Las limitaciones son el coste computacional mayor y la necesidad de validar en datos reales con ruido de mercado, microestructura y efectos de liquidez.
Aplicaciones prácticas En entornos de producción este marco puede integrarse en pipelines de valoración y cobertura, mejorando la exactitud de precio y la robustez de las estrategias delta y vega hedging. Para empresas que buscan implementar soluciones avanzadas de modelado y despliegue de riesgo, Q2BSTUDIO ofrece servicios integrales de desarrollo y adaptación. Nuestros equipos combinan experiencia en aplicaciones a medida y software a medida con capacidades en inteligencia artificial y despliegue en nube.
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Conclusión y trabajo futuro La combinación de modelos de difusión para generar superficies teóricas y Transporte Óptimo para calibración presenta una vía prometedora para capturar skews complejos y mejorar la valoración de opciones. Trabajo futuro incluye incorporar tasas de interés estocásticas, dividendos y extender la calibración a productos exóticos y barrera. La evaluación con datos de mercado reales y la optimización de costes computacionales son pasos necesarios para la adopción industrial.
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