En el campo de la optimización convexa en línea, se ha ampliado el horizonte hacia la optimización convexa en línea multiobjetivo. En este escenario, se consideran $K$ secuencias de funciones de pérdida distintas, y un algoritmo debe elegir su acción en el tiempo $t$ antes de que se revelen las $K$ funciones de pérdida en ese mismo instante. Para capturar el equilibrio entre el seguimiento de las $K$ secuencias diferentes, se introduce el concepto de arrepentimiento min-max, donde se compara el rendimiento del algoritmo en línea con el de un algoritmo offline óptimo que toma una acción estática que minimize la pérdida máxima incurrida por cada una de las $K$ secuencias.
El arrepentimiento min-max es una medida de rendimiento exigente, ya que un algoritmo con poco arrepentimiento necesita "seguir" todas las funciones de pérdida simultáneamente. Se demuestra que, con entradas adversariales, el arrepentimiento min-max crece linealmente con el horizonte temporal $T$ para cualquier algoritmo en línea. Por tanto, se propone un algoritmo sencillo que combina las técnicas de Hedge y descenso de gradiente en línea (OGD) para el modelo de entrada estocástico i.i.d., donde todas las funciones de pérdida se generan a partir de una distribución conjunta desconocida. Mediante una prueba simple, se muestra que el arrepentimiento min-max esperado de este algoritmo es $O(\sqrt{T \log (T K)})$.
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