En este artículo presentamos derivaciones teóricas detalladas sobre funciones de pérdida y funciones de energía en modelos de lenguaje grande acompañadas de pruebas matemáticas rigurosas con aplicaciones prácticas en el desarrollo de software empresarial.
Comenzamos analizando la función gamma incompleta definiendo su propiedad fundamental como la integral de una potencia multiplicada por una exponencial y demostrando su relación recursiva mediante integración por partes. A continuación exponemos la aproximación de Stirling para el factorial expresado en términos de la función gamma completa y probamos su convergencia asintótica mediante expansión de series de potencias.
La derivación de la función de pérdida de entropía cruzada se basa en maximizar la verosimilitud logarítmica de la distribución objetivo frente a la distribución predicha. Utilizamos herramientas de cálculo variacional para llegar a la forma de la entropía cruzada y demostramos su convexidad mediante la segunda derivada con respecto a los parámetros del modelo.
Para completar el análisis teórico definimos la función de partición característica de un modelo energético como la suma ponderada de expuestos a la energía de cada configuración. Probamos su propiedad de normalización y demostramos cómo relaciona la función de energía con probabilidades en el espacio de estados mediante la fórmula de Boltzmann.
Estos desarrollos teóricos se traducen en mejoras directas en arquitecturas de inteligencia artificial y ia para empresas optimizando la estabilidad de inferencia y la calibración de predicciones probabilísticas en tareas de procesamiento de lenguaje natural.
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