Code 101: Rat in a Maze
Descripción del problema
Se tiene una matriz cuadrada de orden N por N donde cada celda vale 1 o 0. El ratón comienza en la posición 0,0 y debe llegar a la posición N-1,N-1. El valor 1 indica que la celda es transitable y el valor 0 que está bloqueada. El ratón puede moverse en cuatro direcciones: U arriba, D abajo, L izquierda y R derecha. Se pide encontrar todas las rutas posibles desde el origen hasta el destino sin visitar ninguna celda más de una vez y devolverlas en orden lexicográfico.
Ejemplo 1
Entrada N = 4 m = {{1,0,0,0},{1,1,0,1},{1,1,0,0},{0,1,1,1}} Salida DDRDRR DRDDRR Explicación: Hay dos caminos válidos y ordenándolos lexicográficamente obtenemos DDRDRR DRDDRR
Ejemplo 2
Entrada N = 2 m = {{1,0},{1,0}} Salida No existe camino o la celda destino está bloqueada
Enfoque general
Este es un problema clásico de backtracking y recorrido en profundidad. Desde la celda inicial se exploran recursivamente las cuatro direcciones permitidas respetando las restricciones: no salir de los límites, no entrar en una celda bloqueada, y no visitar una celda ya visitada en la ruta actual. Cada vez que se alcanza la celda destino se registra la ruta construida. Para evitar repetir celdas se emplea una estructura de visitados o se marca la celda temporalmente como no transitables durante la exploración y se restaura al retroceder.
Puntos clave
1 Validar si la celda inicial es transitables 1 y si la celda destino es alcanzable en principio. 2 Usar backtracking con un array de visitados o marcadores temporales. 3 Generar las llamadas recursivas en el orden que permita obtener luego las rutas ya en un orden cercano al lexicográfico o bien ordenar la lista final de rutas. 4 Restaurar marcas al retroceder para permitir que otras rutas reutilicen las celdas.
Pseudocódigo y explicación paso a paso
Función principal findPath(arr,N) Crear lista ans vacía Si arr[0][0] != 1 devolver ans vacío Llamar a findPathHelper(arr,N,0,0,ans,cadena ruta vacía, matriz visitados inicializada a 0) Ordenar ans lexicográficamente Devolver ans
Función recursiva findPathHelper(arr,N,i,j,ans,path,visitados) Si i == N-1 y j == N-1 entonces añadir path a ans y retornar Si i fuera de límites o j fuera de límites o arr[i][j] == 0 o visitados[i][j] == 1 entonces retornar Marcar visitados[i][j] = 1 Llamar a findPathHelper con i+1,j y path + D Llamar a findPathHelper con i-1,j y path + U Llamar a findPathHelper con i,j+1 y path + R Llamar a findPathHelper con i,j-1 y path + L Marcar visitados[i][j] = 0 y retornar
Nota sobre la construcción de la cadena path En el pseudocódigo anterior se indican los movimientos como D U R L sin incluir comillas en la explicación. En una implementación real en Java se concatenarían caracteres o cadenas que representen esos movimientos.
Versión optimizada y alternativa de implementación
En lugar de mantener una matriz visitados separada se puede marcar temporalmente la propia matriz cambiando el valor 1 por -1 cuando se entra en una celda y restaurarlo a 1 al retroceder. Esta técnica reduce uso de memoria auxiliar y simplifica el código. También es importante, tras generar todas las rutas, ordenarlas lexicográficamente antes de devolverlas para cumplir la restricción del enunciado.
Ejemplo de fragmento estilo Java en pseudocódigo (símbolos < y > están escapados para que se vean correctamente) ArrayList<String> ans = new ArrayList<>() if arr[0][0] == 1 then call helper(arr,N,0,0,ans,'') helper pseudocódigo helper(arr,N,i,j,ans,path) if i < 0 or j < 0 or i >= N or j >= N or arr[i][j] == 0 or arr[i][j] == -1 return if i == N-1 and j == N-1 add path to ans and return arr[i][j] = -1 helper(arr,N,i+1,j,ans,path + D) helper(arr,N,i-1,j,ans,path + U) helper(arr,N,i,j+1,ans,path + R) helper(arr,N,i,j-1,ans,path + L) arr[i][j] = 1
Complejidad
En el peor de los casos, donde casi todas las celdas son transitables, el algoritmo explora muchas rutas posibles. La complejidad temporal es exponencial en N por la naturaleza del backtracking; más precisamente puede llegar a O(4^(N*N)) en términos del número de estados si no se elimina simetrías, aunque en la práctica las restricciones de límites y visitados reducen enormemente el espacio explorado. La complejidad espacial es O(N*N) por la matriz visitados y la pila de llamadas recursivas.
Buenas prácticas
1 Evitar reconstruir cadenas demasiado grandes en bucles inncesarios; usar StringBuilder si se desea optimización en Java. 2 Verificar condiciones de borde al inicio para evitar llamadas inútiles. 3 Ordenar la lista final de rutas antes de imprimirla para garantizar el orden lexicográfico. 4 Para instancias muy grandes valorar algoritmos alternativos o heurísticas si sólo se requiere una ruta y no todas.
Variantes y ampliaciones
1 Limitar movimientos a solo derecha y abajo: simplifica mucho el problema y permite DP. 2 Incluir costes por celda y buscar ruta mínima: pasa a ser un problema de caminos con pesos que se resuelve con Dijkstra o A estrella. 3 Permitir saltos o movimientos especiales: requiere adaptar la generación de vecinos.
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Conclusión
El problema Rat in a Maze es un excelente ejercicio para practicar backtracking y profundizar en control de recorridos, marcadores de visitados y generación de soluciones completas. Para soluciones en producción en Q2BSTUDIO podemos adaptar este patrón a problemas reales de navegación, análisis de rutas, o incluso planificación en robots virtuales o físicos integrando capacidades de inteligencia artificial y servicios cloud para escalabilidad y monitorización.
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