La matemática detrás de las finanzas una guía de investigación relevante. Explora una lista curada de referencias académicas sobre eventos extremos en los mercados financieros, el uso de la mecánica estadística en finanzas y la aplicación del análisis topológico de datos TDA, con una mirada práctica para equipos cuantitativos, riesgo, trading algorítmico y analítica avanzada.
Eventos extremos y colas pesadas. Mandelbrot 1963 introdujo la idea de colas pesadas y fractales en precios, explicando saltos y curtosis elevada. Fama 1965 sentó la base del enfoque de caminata aleatoria y su contraste con la realidad empírica. Embrechts Kluppelberg Mikosch 1997 y Coles 2001 desarrollan la teoría de valores extremos EVT para modelar pérdidas raras y cuantiles de riesgo VaR y ES más realistas. Sornette 2003 estudia burbujas y rupturas de régimen con fenómenos críticos y señales de precursión.
Mecánica estadística en finanzas e econofísica. Mantegna y Stanley 1999 presentan econofísica con leyes de escala, correlaciones y estructuras jerárquicas. Bouchaud y Potters 2003 conectan microestructura, riesgo y fijación de precios desde modelos de partículas y campos aleatorios. Cont 2001 resume hechos estilizados como agrupamiento de volatilidad, asimetrías y dependencia de larga memoria, claves para calibrar simulaciones realistas. Lux y Marchesi 1999 exploran dinámicas de agentes heterogéneos que reproducen colas y volatilidad endógena.
TDA análisis topológico de datos en tiempo real. Carlsson 2009 y Edelsbrunner Harer 2010 establecen la base matemática de homología persistente y complejos simpliciales. Gidea y Katz 2018 aplican TDA a series financieras para detectar cambios de régimen y señales tempranas de estrés. Perea 2019 introduce ventanas deslizantes y formas topológicas para caracterizar ciclos y patrones multiescala. Nicolau 2016 muestra cómo topología mejora la extracción de rasgos para clasificación y predicción en datos ruidosos.
Casos de uso prácticos. Gestión de riesgo extremo con EVT para dimensionar capital y stress testing. Detección de rupturas de régimen mediante TDA e indicadores persistentes para disparar coberturas. Construcción de carteras robustas al riesgo de cola combinando mecánica estadística y estimadores no paramétricos. Señales cuantitativas con topología y aprendizaje automático explicable que reduce sobreajuste y mejora estabilidad temporal.
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Resumen de referencias clave para empezar. Mandelbrot 1963 colas pesadas y fractales en precios. Fama 1965 caminata aleatoria y contrastes empíricos. Embrechts Kluppelberg Mikosch 1997 y Coles 2001 fundamentos de EVT para pérdidas extremas. Mantegna y Stanley 1999 econofísica y leyes de escala. Bouchaud y Potters 2003 riesgo y derivados desde mecánica estadística. Cont 2001 hechos estilizados de retornos. Sornette 2003 burbujas y rupturas críticas. Carlsson 2009 y Edelsbrunner Harer 2010 fundamentos de TDA. Gidea y Katz 2018 TDA para señales tempranas en mercados. Perea 2019 homología persistente en series temporales.
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