Pregunta: Pedir n números al usuario y decir para cada uno si es primo o no. A partir de esta idea, veamos cómo reducir la complejidad temporal del algoritmo y llevarlo de una solución ingenua a una versión optimizada y escalable.
Recordatorio: un número primo es divisible solo por 1 y por sí mismo. La solución más directa recorre todos los posibles divisores, contando cuántas veces el número se divide exactamente. Si el contador alcanza dos divisiones exactas, el número es primo. Aunque correcto, este enfoque tiene complejidad O(n) y resulta lento para valores grandes.
Primera mejora: evitar comprobar 1 y el propio número. En lugar de recorrer de 1 hasta n, recorremos desde 2 hasta n menos 1. Si encontramos alguna división exacta, incrementamos un contador. Si al finalizar el contador sigue en cero, el número es primo. Esta optimización elimina dos iteraciones, pero no cambia el orden de complejidad.
Idea clave: analizar el patrón de divisores alrededor de la raíz cuadrada. Todo divisor menor que la raíz cuadrada tiene su pareja mayor que la raíz. Por ejemplo, para 24 los pares son 1 x 24, 2 x 12, 3 x 8, 4 x 6 y luego se repiten en orden inverso. Esto implica que basta con comprobar posibles divisores hasta la raíz cuadrada del número. Así pasamos a una complejidad O(raíz de n), una mejora sustancial.
Implementación práctica sin calcular la raíz: en lugar de calcular la raíz, usamos una variable div que comienza en 2 y vamos probando mientras div por div sea menor o igual que n. Dicho de otro modo, mientras el cuadrado de div no supere n. Esto mantiene la comparación en enteros y evita operaciones de punto flotante.
Interrupción temprana: en cuanto encontremos el primer divisor distinto de 1 y del propio número, podemos detener el bucle porque ya sabemos que el número es compuesto. Esta técnica ahorra muchas iteraciones en casos negativos.
Tratamiento de casos especiales y microoptimizaciones: si n es menor que 2, no es primo. Si n es 2, es primo. Si n es par y mayor que 2, no es primo. Tras verificar 2, podemos probar solo divisores impares, lo que reduce aproximadamente a la mitad el número de pruebas. Con estas consideraciones, la verificación típica queda así: 1 verificar n menor que 2, no primo. 2 si n es 2, primo. 3 si n es par, no primo. 4 probar divisores impares desde 3 mientras el cuadrado del divisor no supere n. 5 si alguno divide exactamente, no primo y detener. 6 si no se encontró divisor, es primo.
Complejidad: la versión ingenua es O(n). La versión optimizada con tope en la raíz cuadrada es O(raíz de n). Añadir interrupción temprana y saltar pares mejora el rendimiento práctico, aunque el orden asintótico se mantiene.
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