Presentación del problema: Dado un arreglo de enteros con al menos cuatro elementos, el objetivo es elegir dos pares disjuntos de números a b y c d de modo que la diferencia entre sus productos a*b menos c*d sea lo más grande posible. Debe devolverse ese valor máximo de diferencia.
Ejemplos ilustrativos: Entrada: 5, 9, 3, 4, 6 Resultado: 42 Pares: 9 y 6, 3 y 4 porque 9*6 menos 3*4 da 54 menos 12 igual a 42. Entrada: 1, -2, 3, -4 Resultado: 10 Pares: 1 y -2, 3 y -4. Entrada: -3, -1, -2, -4 Resultado: 10 Pares: -1 y -2, -3 y -4. Entrada: 10, 2, 0, 5, 1 Resultado: 50 Pares: 10 y 5, 0 y 1. Entrada: 7, 8, 9, 10, 10 Resultado: 44 Pares: 10 y 10, 7 y 8.
Enfoque ingenuo por fuerza bruta: Una solución directa prueba todas las combinaciones de cuatro elementos y calcula la diferencia de productos para cada partición en dos pares. Esa técnica es simple y correcta, pero su coste es prohibitivo porque examina esencialmente O(n4) posibilidades cuando se implementa con bucles anidados o con generación exhaustiva de combinaciones. Para tamaños modestos funciona, pero para n incluso entorno a 50 o 75 los tiempos se disparan.
Observación clave: La diferencia entre productos se maximiza explotando magnitudes extremas. Los productos de mayor magnitud salen de multiplicar números extremos del arreglo: las dos mayores positivas, las dos más negativas, o una combinación de una máxima positiva y una mínima negativa. Por tanto tiene sentido ordenar el arreglo y mirar sus extremos en lugar de considerar todas las combinaciones.
Estrategia eficiente: 1) Ordenar el arreglo en orden ascendente. 2) Calcular tres candidatos para el producto de mayor magnitud entre los elementos extremos: producto de los dos más negativos, producto de los dos más positivos, y producto del extremo negativo por el extremo positivo. 3) Seleccionar el candidato de mayor magnitud y eliminar esos dos elementos del arreglo para no reutilizarlos. 4) Sobre el arreglo restante, buscar el mejor segundo producto teniendo en cuenta si el mayor es positivo o negativo: si el mayor es negativo conviene restarlo porque negarlo aumenta la diferencia, así que el otro par debe ser el de mayor producto posible; si el mayor es positivo conviene restar el par más pequeño posible para maximizar la diferencia. Para hallar el menor producto también basta mirar combinaciones entre los extremos si ordenamos adecuadamente; en caso necesario se puede ordenar por una clave que ponga los números con menor impacto en las posiciones exteriores.
Complejidad y ventajas: Ordenar cuesta típicamente O(n log n). Después de ordenar, todas las operaciones sobre extremos son O(1) o lineales en el peor caso pero mucho más baratas que O(n4). En la práctica ordenar y elegir entre unos pocos candidatos es muy eficiente y evita examinar millones de combinaciones.
Casos especiales a considerar: presencia de ceros, signos mixtos y repeticiones. El cero puede convertirse en el mejor candidato para el par que queremos minimizar; al ordenar hay que asegurarse de tratar correctamente multiplicaciones por cero. Si hay valores repetidos, el algoritmo sigue siendo válido mientras no reutilice el mismo índice dos veces.
Resumen del algoritmo en pasos prácticos: 1 Ordenar el arreglo ascendentemente. 2 Calcular nn producto de las dos posiciones más a la izquierda. 3 Calcular pp producto de las dos posiciones más a la derecha. 4 Calcular np producto del extremo izquierdo por el derecho. 5 Elegir el mayor en valor absoluto entre nn, pp y np y retirar esos dos elementos. 6 Si ese mayor es negativo, calcular el máximo producto posible en el resto y devolver maxProducto menos mayorNegativo. 7 Si ese mayor es positivo, encontrar el menor producto posible en el resto y devolver mayorPositivo menos menorProducto. Esa lógica cubre los casos habituales con un coste dominado por la ordenación.
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Conclusión: Ordenar para ganar es una estrategia poderosa en este problema. Reemplaza la fuerza bruta por una observación sobre extremos y magnitudes, reduciendo dramáticamente la complejidad y manteniendo resultados correctos incluso en presencia de negativos y ceros. Si busca implementar o escalar este enfoque, Q2BSTUDIO puede ayudar a integrarlo en su stack, compatible con servicios cloud y con prácticas de ciberseguridad robustas.