Las técnicas de reducción de dimensionalidad como PCA funcionan muy bien cuando los conjuntos de datos son linealmente separables pero dejan de ser útiles en cuanto aparecen patrones no lineales. Ese es el caso clásico del dataset dos lunas, donde PCA aplana la estructura y mezcla las clases. Kernel PCA supera esta limitación mapeando los datos a un espacio de características de mayor dimensión mediante el truco del kernel, de modo que relaciones no lineales en el espacio original se convierten en relaciones lineales en el nuevo espacio.
La idea central de Kernel PCA es reemplazar el producto escalar tradicional por una función kernel k(x, y) que calcula la similitud entre pares de puntos sin necesidad de conocer explícitamente el mapeo a la dimensión mayor. Kernels comunes incluyen el kernel gaussiano o RBF, kernel polinómico y kernel sigmoide. Con Kernel PCA se construye la matriz kernel K con entradas Kij = k(xi, xj), se centra esa matriz y se realiza una descomposición en valores propios para obtener las componentes principales en el espacio de características.
Para proyectar nuevos puntos se calcula su vector de similitud con los datos de entrenamiento y se aplica el mismo centrado y la proyección usando los vectores propios. En la práctica, con un kernel RBF bien elegido, un conjunto como dos lunas queda separado en las primeras componentes principales, permitiendo visualizar y clasificar estructuras no lineales que PCA lineal no puede separar. Parámetros como gamma en RBF o el grado en el kernel polinómico condicionan la capacidad de separación y requieren validación.
Ventajas de Kernel PCA incluyen la capacidad para extraer características no lineales útiles para clasificación, reducción de ruido y visualización. Sus limitaciones son el coste computacional al manipular la matriz kernel para grandes n y la necesidad de seleccionar un kernel y sus parámetros. Para escalar a muchos puntos se usan aproximaciones como el método de Nyström o kernels aleatorios.
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